La goupille

La figure 5 montre deux dalles A et B d’épaisseur h_A et h_B, respectivement, reliées par une goupille. Une force P est appliquée sur chaque dalle ; pour établir l’équilibre de l’ensemble du système, il faut également appliquer des moments M de magnitude (h_A + h_B )P/2.

On suppose pour l’instant que les dalles sont infiniment grandes dans toute direction perpendiculaire à l’axe de la goupille. Il est tout à fait évident que toute charge appliquée à la surface cylindrique du trou a peu d’effet en tout point éloigné de l’axe. Ainsi, il est justifié de considérer les parties éloignées de la dalle comme étant absolument rigides et seulement les parties à l’intérieur d’un cylindre de rayon, r_e comme élastiquement flexibles. Si la partie élastique est remplacée par un système de ressorts radiaux, on obtient un modèle qui peut être utilisé pour étudier l’interaction entre la goupille et les dalles et qui peut être rendu équivalent au système réel par un choix approprié du rayon r_e et de la rigidité des ressorts.

La paire de forces d’action et de réaction P crée un déplacement y de la dalle A par rapport à la dalle B en vertu de l’élasticité des ressorts. Si l’on suppose que la goupille est absolument rigide, elle tourne dans la position indiquée sur la figure 6. Si la goupille est élastiquement flexible, non seulement elle tourne, mais elle est également pliée comme le montre la figure 7. Il est évident que plus la déformation est concentrée au voisinage immédiat de la surface de contact entre les dalles A et B, plus la goupille est faible par rapport aux ressorts.

La déformation et la contrainte de la goupille peuvent être calculées au moyen de la théorie de la poutre sur une fondation élastique. Pour ces calculs, le paramètre d’élasticité de la fondation - parfois appelé coefficient d’assise - doit être connu. Il peut être difficile d’obtenir cette information par des considérations théoriques, mais il est toujours possible de la déduire d’expériences.

Il est facile de constater que le coefficient d’assise dépend du module d’élasticité du matériau des parties A et B. Cela signifie qu’une goupille en acier dans une structure en acier se comportera différemment d’une goupille en acier dans une structure en fonte ou en aluminium.

La figure 8 montre une disposition symétrique par rapport à la configuration géométrique et à la charge. Un gabarit de cisaillement double ayant une telle disposition symétrique est recommandé pour tester les goupilles. La théorie de la poutre sur une fondation élastique conduit aux résultats suivants concernant les contraintes de cisaillement t et la contrainte de flexion σa . Les contraintes de cisaillement maximales t_max se produisent dans le plan de contact des parties A et B ou A¹ et B, respectivement, les contraintes de flexion maximales σa max se produisent dans le plan central de la partie B jusqu’à un certain rapport de m/D (où 2m est l’épaisseur de la partie B et D comme précédemment le diamètre de la goupille). Le rapport t_max /σ_{a max} dépend également du rapport m/D et, naturellement, du coefficient d’assise ; il est représenté sur la figure 9 pour un coefficient d’assise qui a été déduit des expériences. Si la résistance au cisaillement et la résistance à la traction du matériau de la goupille sont connues, il est possible de prédire si une éventuelle rupture sera causée par des contraintes de cisaillement ou de flexion. Pour cette conclusion, les contraintes normales dues à l’ajustement serré doivent être prises en compte ; notez que les contraintes dues à l’ajustement sont radiales et tangentielles tandis que les contraintes de flexion dues aux forces externes P sont axiales. Ainsi, l’état de contrainte dans la goupille est triaxial.

Si la goupille se brise sous l’effet de contraintes normales, la fracture se produit à l’intérieur de l’une des pièces. De telles fractures ont été observées.

Le positionnement de la fente d’une goupille tubulaire fendue par rapport à la force appliquée est significatif. Deux positions limites sont possibles, principalement celle où la fente est à 90˚ de la direction des forces P1 et P2 , figure 10, et l’autre où la fente est alignée avec la direction des forces P₁ et P₂ - voir figure 11. Les couples P₁ ’P₁ ” et P₂ ’P₂ ” doivent être ajoutés afin d’établir l’équilibre avec le moment extérieur M, figure 5. La différence fondamentale entre les deux arrangements illustrés par les figures 10 et 11 réside dans la position des forces P₁ et P₂ par rapport au centre de cisaillement de la goupille fendue. Le centre de cisaillement se trouve sur l’axe de symétrie de la section transversale opposée à la fente, comme le montrent les figures 10 et 11. Soit rm le rayon moyen de la goupille tubulaire fendue, c’est-àdire égal à 1/2(D₁-h), figure 2 ou figure 10, et soit ±φ₀ les coordonnées angulaires des bords de la fente. En supposant que l’épaisseur h est faible par rapport au rayon moyen r_m, la distance zs du centre de cisaillement par rapport au centre du cercle de rayon rm découle de la formule suivante

Pour φ₀ <π/2, la formule (4) peut être remplacée par l’approximation

Pour les valeurs spéciales φ₀ = π/2 (demi-cylindre) et φ₀ = π (fente infinitésimale), la distance z_s = (4/π)r_m and z_s = 2r_m , respectivement. Le rapport z_s /r_m est tracé en fonction de l’angle φ₀ à la figure 12.

Si les lignes d’action des résultantes P₁ et P₂ passent par le centre de cisaillement de la section transversale, la déformation de la goupille est une déformation de flexion simple. Si, par contre, les lignes d’action de P₁ et P₂ ont une distance zs du centre de cisaillement, il y a aussi un couple proportionnel à zs et une déformation en plus de la flexion. De plus, les contraintes de flexion sont localement plus élevées que dans le cas z_s = 0. Ainsi, la goupille dans la fente d’arrangement à 90˚ de la direction des forces est plus faible que la même goupille dans l’autre fente d’arrangement alignée avec la direction des forces. Cette conclusion est en accord avec la déclaration de Leo F. Spector³ selon laquelle la différence de résistance au cisaillement est d’environ 6 %.

Il est tout à fait évident que les contraintes σa parallèles à l’axe de la goupille dues à une déformation en flexion dans la direction y ne peuvent pas être très importantes dans une goupille de cisaillement multiple comme celle de la figure 13 lorsque l’épaisseur h des dalles à assembler est faible par rapport au diamètre de la goupille. Une telle disposition révèle à nouveau que l’ampleur de la force maximale qui peut être appliquée au joint dépend de la position de la fente par rapport à la direction de la force. Ceci peut être démontré comme suit.

La force latérale P crée une pression q à la surface du trou qui est fonction de l’abscisse x et de la coordonnée angulaire φ. La force qR dφ dx agissant sur l’élément de surface Rd dx a une composante parallèle à la force latérale P de grandeur qR sinφ dφ dx.

S’il y a n surfaces de contact entre les dalles, la longueur axiale de la surface du trou est de (n+1)h. Dans le cas I - fente à 90° de la direction de la force P - l’intégrale f des composantes qR sinφ dφ dx de φ = 0 à φ = φ₀ et de x = 0 à x = (n +1)h doit être égale à la force P. Ainsi

Si q est assimilé à q₀ Φ_I où q₀ est supposé être indépendant de l’abscisse x en tant qu’approximation du premier ordre et Φ₁ est une fonction de la coordonnée angulaire φ, il s’ensuit que

La composante qR sinφ dφ dx a un bras de levier b(1 - cosφ) par rapport à un axe passant par le point r = b, φ = 0 où b désigne le rayon de la fibre neutre comme dans la section (B-2). Il exerce donc un moment dM_tI autour de cet axe. Par intégration, il s’ensuit que le moment de flexion M_tI est de

ou avec l’hypothèse précédente et par rapport à l’équation (7)

Dans le cas II - fente alignée avec la direction de la force P - le moment de flexion à r = b, φ = 0 est de :

Avec les hypothèses simplificatrices φ₀ = π, φ₁ = π/2 et ϕ_I = ϕ_II égale unité, il s’ensuit que :

Il est assez difficile de trouver une estimation fiable des fonctions Φ_I et Φ_II pour la raison suivante. Il a été montré dans la section « Goupille tubulaire fendue » que les contraintes σtp dans la goupille en raison de l’ajustement serré sont, dans certaines parties de la section transversale, égales à la limite d’élasticité et, dans d’autres parties, encore dans la zone d’élasticité. Les contraintes σ_tI ou σ_tII dues aux moments M_tI ou M_tII doivent être ajoutées aux contraintes σ_tp . Ceci est impossible dans les parties où un écoulement plastique s’est déjà produit lorsque la goupille a été enfoncée dans le trou, à moins qu’un écrouissage n’ait eu lieu. En raison de la complexité des conditions réelles, seule une déclaration généralisée peut être faite : M_tII est plus petit que M_tI pour la même charge externe P.

L’affirmation précédente selon laquelle la goupille fendue dans la disposition : fente à 90° de la direction de la force est plus faible que dans la disposition : fente alignée avec la direction de la force vaut également pour la goupille de cisaillement multiple.

La position du centre de cisaillement de la section transversale représentée sur la figure 4 peut être calculée à partir de la formule (4) si l’épaisseur h de la bande est très faible par rapport au rayon de la fibre neutre et si les deux extrémités - à la coordonnée angulaire -φ₀ ainsi qu’à +φ₀ – sont des extrémités libres. La première condition signifie que la différence entre le rayon moyen de l’enroulement extérieur et le rayon moyen de l’enroulement intérieur est négligeable. La deuxième condition est satisfaite à l’extrémité intérieure +φ₀ de la bande mais pas du tout à l’extrémité -φ₀ de l’enroulement extérieur. Cette extrémité est fortement soutenue par le renflement, comme nous l’avons déjà mentionné dans la section « Goupille spiralée », de sorte que l’enroulement extérieur se comporte presque comme une section transversale tubulaire sans fente.

Ainsi, le centre de cisaillement doit être proche du centre du trou. Cette conclusion est confirmée par des expériences qui ne montrent aucun effet notable du positionnement des extrémités de la bande dans le trou de goupille sur la résistance au cisaillement.

Les moments d’inertie autour des différents axes φ sont légèrement différents. Étant donné que le diamètre effectif d’une goupille spiralée ne peut jamais être inférieur au diamètre nominal en raison du renflement, les moments d’inertie sont juste légèrement inférieurs à ceux d’une goupille pleine de même diamètre nominal. Ainsi, la sélection de la taille appropriée d’une goupille spiralée peut être basée sur les mêmes délibérations que dans le cas d’une goupille pleine.

Des objections pourraient être soulevées contre l’application de la même taille pour les goupilles spiralées et les goupilles pleines lorsque les contraintes de cisaillement seules sont considérées. Si les contraintes de cisaillement constituent le critère, selon la figure 9, pour la taille appropriée de la goupille, le type « à usage intensif » (il existe également des goupilles spiralées « moyennes » et « légères ») avec une section transversale d’environ 75 % de celle d’une goupille pleine du même diamètre nominal doit être utilisé. Si les deux goupilles étaient fabriquées dans le même matériau, on pourrait s’attendre à ce que la résistance au cisaillement statique d’une goupille spiralée soit inférieure à celle d’une goupille pleine. Cependant, des tests effectués conformément aux spécifications de plusieurs agences gouvernementales montrent une résistance statique légèrement supérieure de la goupille spiralée.

Cette observation peut s’expliquer en partie par le fait que les goupilles pleines sont beaucoup plus précontraintes par la pression d’appui (section « Contrainte et déformation dues à l’ajustement serré »), en partie par l’ampleur de la résistance à la rupture de différents matériaux après différents traitements thermiques et en partie par le phénomène métallurgique selon lequel la résistance à la rupture d’un matériau augmente lorsque l’épaisseur de l’échantillon d’essai diminue. Si, par exemple, la résistance à la rupture d’une tôle de 0,016 pouce d’épaisseur est prise comme unité pour une comparaison, la résistance à la rupture de tôles de différentes épaisseurs peut être extraite du tableau 1.

Tableau 1

Les performances d’une goupille soumise à une charge dynamique, qu’elle soit intermittente ou oscillante, sont difficiles à prévoir par des considérations théoriques uniquement, car de nombreux effets entrent en jeu, comme la résistance à la fatigue du matériau dont sont faites les goupilles, l’amortissement des vibrations grâce au frottement qui dépend de l’ajustement serré entre la goupille et le trou ou entre les pièces à assembler, etc.

Il faut donc se fier aux expériences qui donnent des informations d’autant meilleures pour une application particulière, que les conditions de l’application réelle sont simulées dans les essais. De tels essais ont été réalisés4 à une fréquence de 2000 cycles de charge par minute. Afin d’obtenir des ruptures dans un temps raisonnable, la magnitude de la charge fluctuante a été choisie en alternant entre plus et moins la moitié de la charge statique ultime. Dans ces conditions très sévères, les goupilles spiralées ont duré beaucoup plus longtemps que les goupilles pleines ou les goupilles tubulaires fendues ; la rupture s’est produite uniquement dans l’enroulement extérieur.

Les temps enregistrés pour un grand nombre d’essais sur des goupilles spiralées ont divergé d’environ 10 pour cent. La dispersion des résultats des autres types de goupilles était également plus importante.

La dispersion des résultats d’essai est inévitable si les spécimens d’essai sont prélevés au hasard sur la chaîne de production. Elle est principalement due aux tolérances quant au diamètre de la goupille. Si l’on suppose que le trou est percé avec exactement le diamètre nominal D₀ et que les écarts par rapport au diamètre nominal D₁ de la goupille se produisent dans les tolérances standard ±e, le rapport (D₁ ±e - D₀ )/D₀ responsable de la pression d’appui et des contraintes dues à l’ajustement serré peut varier considérablement puisque D₁ - D₀ est lui-même une petite quantité. Les différences de dispersion semblent indiquer que les différents types de goupilles sont différemment sensibles aux tolérances standard.